钉子板上的多边形

解决问题一：确定研究思路和方法

1.谈话：今天这节课我们一起来研究钉子板上的多边形。（板书：钉子板上的多边形）

你们会在钉子板上围多边形吗？看谁围的快！（学生围   拍学生作品）

2.并列展示一个五边形一个三角形：这是刚刚两个同学围的，哪个面积大？

你觉得钉子板上多边形的面积会和谁有关呢？

预设：（1）学生回答和“周长”有关

应对：周长和面积的确是有关系的，我们曾经研究过长方形的周长和面积之间的关系。

如果没有学生再举手——既然这个多边形在钉子板上，面积是不是跟钉子板上的

钉子有关系呢？跟哪里的钉子有关系呢？

预设：（2）学生回答“钉子”——哪里的钉子？

预设：（3）学生回答“边上的钉子数”

应对：大多数同学都感觉到边上的钉子数和面积有关（板书：边上的钉子数  面积）

这个图形边上有几个钉子？会数吗？自己在下面轻轻地数一数

预设：（4）学生回答“形内的钉子数”

应对：大多数同学都感觉到和边上的钉子数有关，有同学感觉可能还和形内的钉子数

有关。我们就分别来进行研究，先来研究边上的钉子数，边上的钉子数和面积

到底有没有关系呢？（板书：边上的钉子数   面积）

3. 请离老师最近的人来数边上的钉子数

预设：（1）学生数对了——（手指里面那颗）这颗钉子为什么不数？

（2）学生数了里面的钉子数——你们同意他这样数吗？

（3）学生漏数了边上的钉子数——要按照顺序沿着外围数一遍，不重复不遗漏。

要求：大家都已经会数了。我们一起来数数这个三角形呢？

4. 提问：看样子，同学们数钉子已经没问题了，那面积你会求吗？（聚焦五边形）

我们以这个为例，假设横着和竖着看每两个钉子之间的距离是1厘米，

这个五边形的面积你会算吗？是不是有不同的方法呢？同桌之间互相说一说。

请人上来说：谁能上来把他想到的方法一下子都说出来？（并列投影三个五边形）

预设：（1）数——他是这样数的（屏幕上写“数”）其实也就是把它分割成三小格和

半格（师演示分割线，做记号）

（2）算：分割——学生回答分割成一个长方形和一个梯形

         追问：长方形的长是几，宽是几？梯形上底、下底、高？

（屏幕上写“割”）除了横着割，还可以竖着割。

         填补——学生回答用正方形的面积减三角形的面积（屏幕上写“补”）

                 追问：这个正方形的边长是几呢？（和下面的学生互动）

                       你们是怎么想到的？原来这里要去数“间隔”。

看样子，我们可以用这么多的方法来求面积呢！（手指屏幕）

快速反应：老师还带来了两个图形，看一个这个用什么方法？（长方形、三角形）

小结：看样子，我们可以根据图形的特点合理地来选择数或者算的方法。

解决问题二：探索规律

版块一：研究形内一个钉子的情况

1.要求：我们已经会数钉子数，也会算面积了。刚刚大家都围了一个多边形，何老师

拍了一些。（投影）为了便于研究，给它们标上序号。（编号）快速地数一数、算一算边上钉子数和面积分别是多少，看看有什么发现，填入作业纸第一题。（学生做时师在黑板上标序号）

过程中：有的同学算的很快，算完的可以和同桌交流一下，你都算对了吗？

        仔细观察这些数据，你有什么发现？有没有特殊的情况存在呢？

    （收一个学生的作业纸，相应板书）都做完了吗？来，一起看黑板。

2.提问：刚刚你们都感觉边上的钉子数和面积有关系，现在数据都有了，仔细观察，有没有什么特殊的关系？（根据回答，将有特殊关系的数据挑出来。）

追问：我们找到了有些面积和边上的钉子数有一半的关系，你们现在最想看什么？（教师手指图，将有特殊关系的图圈出来）

3.引导：这些图有大有小，有的规则有的不规则，它们有什么共同的特点吗？（讨论）

质疑：是不是真的只有1颗钉子？我们来找找看！（师在屏幕上圈1颗钉子）

小结：形内的钉子数是1颗的情况。（板书跟进：形内的钉子数 1

4.质疑：是不是只要形内只有一个钉子，就一定有这样的规律呢？

        那我们需要进一步去验证！怎么验证呢？（举例画、数、算）

请你在作业纸的第2题去画一画、数一数、算一算。

提问：这样的图是画不完的，有的同学已经画了好几个了，你们画的图都符合形内

一个钉子吗？你们算出来的面积是一半关系吗？有没有找到反例？

小结：没有找到一个反例，说明结论是成立的。

5.快速反应：老师考考你，如果边上有10枚钉子呢？88枚钉子呢？100枚？（口答）

引导：（1）写的完吗？那你现在找到规律了吗？同桌互相说一说。

（2）看来，我们这个结论可以用文字来表达，除了用文字表达，有没有更简

洁的表达呢？（用字母）

（3）如果老师用n表示边上的钉子数，那面积可以怎样来表示？（补充板书）

（4）果然，这个字母表达比文字简洁多啦，又方便又好记！

6.回顾：我们刚才是怎样发现形内只有1个钉子时的规律的？同桌互相说一说。

一开始围了很多多边形（手指屏幕），在数一数、算一算的过程中发现有一些特殊关系（手指黑板数据），我们找到了特殊关系的图，发现它们形内都只有一颗钉子。然后我们又举了很多的例子去验证，发现没有反例，我们就找到了规律。（带着学生回顾）

板块二：研究形内2个钉子的情况

1.引导：刚刚我们研究了形内是一颗钉子的，接下来形内还可能有几颗钉子？（2）

板书：形内的钉子数   2

提问：你觉得边上的钉子数和面积还会是这种规律吗？（板书：边上的钉子数 面积）

预设：（1）学生直接报出规律：是这样吗？有些同学已经有点想法了，有些同学还

没有。没关系，找到作业纸第3题，像刚刚那样去画一画、数一数、算一算。

（2）学生说不一样：你也能像刚刚那样去研究研究吗？

过程中：为了研究方便，画的图形不要太复杂，简单一点。

        有的同学图形已经画完了，赶紧去数一数、算一算，把数据填在表格里。

有的同学画了一个又一个，画的完吗？请你仔细观察这些数据，看看有什

么发现，在4人小组里讨论讨论。

（学生交流时教师收一个小组的数据并板书在黑板上）

2.提问：你们发现规律还是一半关系吗？（不是）

引导：的确不是一半关系了。如果是一半关系，应该是？（换颜色板书÷2的结果）

不是一半关系，又暗藏着怎样的关系呢？和同桌互相说一说。（比一半多1）

追问：你们画的都符合这样的规律吗？有没有谁画的不符合规律的？

3. 快速反应：如果边上有20个钉子呢？100个呢？1000个呢？（板书：20÷2+1=21）

说都说不完，我们可以用什么来表示呀？（板书n）

             规律怎么表达？（板书n÷2+1）

板块三：研究形内3、4、10、m个钉子的情况

猜想：形内只有1个钉子，边上钉子数和面积是这样的关系。形内2枚钉子时，规律是这样的。3枚呢？4枚呢？会是怎样的规律呢？你能不能来猜想一下（停顿）

——如果有人举手：这位同学有想法了，你来说说看！

——如果没人举手：跟你的同桌小声讨论一下（板想法）

提问：你们都是这样想的吗？真的是这样吗？打问号——这只能作为我们的一个猜想，我们还要去？验证。怎么验证呢？

分工：时间有点紧张，我们分工合作一下。同桌一位同学研究3，一位同学研究4，看

看有没有反例。（画、数、算，交换检查。）

交流：你们举了很多例子，有没有发现有反例？——没有反例，说明我们刚刚的猜想

是正确的。（擦问号）

拓展1——0个钉子

提问：我们已经找到了形内1个、2个、3个、4个钉子的规律，你还能想到研究几个？

5个？6个？7个？……10个？……

质疑：再这样下去所有的情况都研究完了吗？

预设：（1）学生说到m个——这里的m一定要从1开始吗？

我们研究规律时只研究这些一般数据吗？

（2）学生说到0个——是啊，研究的时候别忘了还有一个特殊数据0呢！

如果形内没有钉子，它的规律会和之前的规律一样吗？

你们感觉会是怎样的？（停顿）大胆地猜想一下！

                           你们都是这样想的吗？是不是这样呢？——验证！

过程中：同学们画了一个又一个，有没有发现反例？ 

拓展2——m个钉子

引导：我们从0个钉子开始，研究了1颗、2颗、3颗、4颗……研究的完吗？

那我们能不能用m来表示形内的钉子数呢？如果用n表示边上的钉子数，边上

的钉子数和面积有怎样的关系呢？

你能不能用字母来表达一下？在作业纸空白的地方写写看。

快速反应：m=1的时候，它的面积是？m=0的时候呢？（圈黑板上相应位置）

          m=100的时候？——找到了规律，用规律真方便！

课堂小结

提问：今天这节课我们一起研究了钉子板上的多边形，回顾我们研究的过程，你有什

么收获？同桌互相说一说。

交流：从很多的多边形里面找到一些特殊的，发现形内都是1个钉子，开始研究。

不断验证，找反例。规律可以用字母表达……

追问：我们是怎样得到规律的呢？在画、数、算的过程中，我们有了一个偶然的发现，

还不能成为结论，我们开始大量举例验证，发现没有反例，然后归纳出结论。归纳结论时可以用文字表达，也可以用字母表达！有了这样的结论，我们还可以运用规律解决问题呢！

明确：偶然发现→举例验证→得出结论→运用规律

机动题目：钉子板上围2个复杂图形（不规则）

提问：既然我们已经找到了规律，你能不能快速运用规律来解决问题呢？何老师带来

了1个图形，想要快速地算出面积，先要干什么？同桌互相说一说。

交流：先数形内的钉子数和边上的钉子数，然后运用公式。

跟进：我们可以把它记录下来。（写内、外），有了数据，你现在能用公式快速计算面

积了吗？在练习纸空白地方算一算。

下课后同学们还可以在钉子图上画一些更复杂的图形考考你的同桌。