莫比乌斯圈

教学内容：有关莫比乌斯圈的知识

教材分析：

    本节课的教学内容是数学课外补充内容——莫比乌斯圈。莫比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面。因莫比乌斯发现而得名。它属于《拓扑学》的内容，它是这个奇怪的图形是非常特殊的，是只有一个面和一条边的单侧曲面。它还是一个非常好的可以激发学生学习兴趣、激励学生学数学用数学、拓展数学视野的好题材。本节课的核心是帮助学生经历单侧曲面——莫比乌斯圈的产生过程，通过与双侧曲面对比验证和探索，刺激学生不断地经历大胆的猜想、验证中发现和体会莫比乌斯圈的神奇。

通过对莫比乌斯圈形成和深入分析的过程感知可以让学生充分感受到数学的奇妙变化其实离自己很近，而且越是多角度不同的思考越是能得到更多的数学乐趣。

学情分析：

五年级的学生已经对平面图形的相关知识有了一定的学习，能自主分析一些常见的平面图形。但仍有很多不曾见过的图形，这节课中的莫比乌斯圈就是这样一个对他们而言很新鲜、很不可思议的内容。学生对于双侧曲面其实见得很多，并不陌生。但对于这类图形面和边的验证方法、后续研究探索路径并不了解。

这个年段的学生比较喜欢猜想，有较强的创新欲望。因此，借助这个内容可以提高学生猜想的广度和深度，并让学生更好地体验数学发现的美妙。

教学目标：

    1．让学生较为整体的认识单侧曲面——莫比乌斯圈，并运用双侧曲面的研究经验自己经历莫比乌斯圈的探索过程。

2．在莫比乌斯圈变化的过程中初步领会“观察、猜测、想象、验证”的学习方法。并从中发现“莫比乌斯带”的奇异性质。

3．在莫比乌斯圈魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养空间意识。

教学准备：长方形纸条若干条、剪刀、双面胶、黑色水彩笔。

一、制作双侧曲面

教师拿出一张纸条。问：它有几个面？几条边？

组织学生摸一摸，和同桌说一说。请一生汇报。（板书：面  2   边  4）

问：你能把它变成两条边吗？让学生动手试试。

做好的同学举出来看看呢，谁来说说是怎么变的？（指导：首尾两端重合）

问：边几条？面呢？让学生摸一摸，渗透内圈和外圈。（板书：面  2  边  2）

揭示：数学上把这样的有内外两个面的纸圈叫做双侧曲面。（板书：双侧曲面）

二、制作与研究单侧曲面

1．师又拿出一张纸条，让我们继续来挑战。问：你能让它只有一个面吗？

打开：有色连有色，白色连白色还是两个面，可以怎么办？（结合投影呈现）

学生独立尝试，让学生好了就用胶水粘好。

 2．这个圈只有一个面吗？我们一起摸一摸呢。有什么发现？如果用水彩笔在面上某处开始一直画下去会怎样？动手画画看。（结合学生画的资源）

看看动画中的小球怎么运动的。

归纳：内圈和外圈连在了一起，只有一个面。（板书：1）

它有几条边？动手验证一下。

先不说，你能用手描一描屏幕上这个纸圈的边吗？（引导学生不断想象）

现在知道有几条边了吗？和你的发现一样吗？在快速在自己的纸圈上摸摸它的边。

小结：原来这个纸圈只有一个面和一条边。（板书：1）

揭示：像这样的只有单侧曲面。（板书：单侧曲面）

3．介绍：这个神奇的单侧曲面也叫莫比乌斯圈。（板书：神奇的 莫比乌斯圈）

看到这个名字有什么想说的？

PPT：德国有一位数学家叫莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。所以，人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。

既然它这么神奇，大家再做一个，思考：为什么会变成一个面，一条边的？

全班交流中点拨：因为一端翻转180度后，两个不同的面连接起来了。

组织学生对比一下两种纸圈的接头部分。

（板书：一端翻转1个180度）

三、深入探索莫比乌斯圈

1．既然这么神奇，大家知道数学家是怎么继续研究它的？你想怎么继续探索？

组织同桌前后相互说说。个别交流后及时输入word：

① 一端翻转2个或多个180°会是什么结果？（追问增加纸条长度、判断曲面种类）

② 沿中线剪开会是什么图形？继续剪开呢？（追问判断曲面种类、继续剪细节）

组织学生同桌针对两个问题分别进行操作和交流，并做好汇报的准备。

小组要求：

一端不动，另一端旋转1个或多个180度后，会得到怎样的曲面呢？

折一折，记录下来，并小组内交流自己的想法。

全班交流：

① 交流：翻转多个180度后有什么发现？

   拓展：翻转多少个180度就是莫比乌斯圈？那翻转多少个就是双侧曲面？

   （板书：奇数个   一端翻转偶数个180度）

② 交流：连续剪开之后返现了什么？怎么验证的？

   拓展：下课后大家可以加宽纸条持续沿中线剪开，并验证看看有什么发现？

同桌回顾：相互说说我们是怎么做出莫比乌斯圈的，又探索和发现了什么？

2．我们刚刚做出了莫比乌斯圈，发现了它一些非常奇妙的地方。那么想一想你在生活中见过莫比乌斯圈吗？

    和学生一起看、一起思考：

① 看过山车图片和视频，提问：过山车的轨道设计原理是什么？为什么这样设计？

   明确：看上去上上下下，其实都在一个面上行驶；旋转；增加娱乐性

② 滑梯的设计原理呢？三叶纽结看得出它的设计原理吗？（旋转了3个180度）

③ 借助收音机介绍磁带使用中的换带，怎么解决这个问题？

④ 介绍传送带的磨损，怎么解决呢？

四、全课小结

通过本节课的学习，你能不能用一个词语来形容莫比乌斯圈给你的最大感受？

课后还想怎么继续研究莫比乌斯圈？

板书设计：

莫比乌斯圈

              2   4   

双侧曲面    2   2   一端翻转 偶数个 180°       摸一摸

单侧曲面    1   1   一端翻转 奇数个 180°       画中线