怎样历经抽象的过程？　　

　 发表于《中国教师报》2009年12月　

《小学数学新课程标准》指出：数学教学强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。然而从教学的现实来看，正如郑毓信教授所言的那样——标准所制定的目标还不能得到很好的贯彻，一个重要的原因是普遍的认为——小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。具体到某一课，如苏教版国标本四年级下册《找规律》（有趣的搭配）一课，如何透过简单的教学内容将具体的生活实际问题抽象成数学模型，体现数学思维的特点，使学生在数学思维能力得到进步和发展就成了我们这次教学尝试的一个出发点。　　

教学具准备：师生各准备食物图片一套。　　

教学过程：　　

一、创设情景，引出搭配问题　　

师：同学们能与大家交流，今天早餐吃了什么？看我校的营养师为寄宿生准备的部分早餐。（电脑出示食物图片：面包、豆浆、馒头、蛋糕、牛奶）　　

师：我们能不能把这些食品分分类。　　

生：分为二类，一类为点心分别是面包、馒头、蛋糕，一类为饮品分别是豆浆、牛奶。　　

师：请你选一种点心，再配一种饮品做早餐，你准备怎样选配？　　

二 、动手操作，体验过程　　

1、学生动手操作。　　

师：谁能一口气把所有的搭配向大家说说。　　

生根据凌乱的图片说的搭配过程也较乱。（教师根据学生的说在黑板上摆出第一种方法）　　

师：他的搭配过程清楚吗？　　

师：在搭配过程中有没有重复的？　　

师：你能想办法使别人能清楚看出6种搭配过程吗？　　

生拿出图片摆。摆完后同桌交流搭配的过程。　　

教师巡视，让有序搭配的一组把过程摆在黑板上。　　

师：谁向大家介绍搭配的过程。你是先选什么，再与谁搭配的？　　

生1：我先选饮品，分别与点心搭配有3种，2种饮品，一共6种。（摆出第二种方法——两幅图：左图三份牛奶对应这三份点心，右图三份豆浆对应着三份点心，共用了12张图片）　　

生2：我先选点心，分别与饮品搭配有2种搭配，3点心，一共6种。（第三种方法也用了12张图片）　　

师：比较黑板上三种搭配过程，你有什么体会？　　

生：第一种很乱，有点看不清，第二、三种比较清楚。　　

生：我比较喜欢二、三两种，因为它能使人一眼看出不重复，不遗漏。　　

师板书：有序，不重复不遗漏。　　

2、师：通过摆图片，我们知道了有6种不同搭配过程，学会怎样有序地来思考搭配过程，观察第二、三种搭配过程，你能不能拿走一些图片，也能使人一眼看出6种搭配呢？　　

学生动手操作。　　

生：我把饮品类各拿走2张，还剩8张图片，用线连一连。（左右两幅图，左图一张牛奶图片连三张点心图片，右图一张豆浆连三张点心）　　

生：我的图片比他还少，还剩5张，还可以把点心图片各拿走一张。用线连一连。（合成一幅图，左边牛奶图片在上，豆浆图片在下，右边三张点心。一一连线）　　

师：如果老师把所有图片拿走，你能用比较简洁的方法来表示刚才的搭配过程吗？学生在自备本上试一试。　　

教师巡视。　　

师：老师也收集了几位同学的表示过程，看一看，比较他们的表示方法，你有什么想说吗？　　

有的学生用数字表示，有的用图形表示，有的用字母表示，有的区分出了饮品与点心，有点没有区分。　　

生：都用数字表示，不知谁表示饮品，谁表示点心，可以图形与数字搭配。　　

师：同学们真棒，没了图片，想出了更简洁方法来表示搭配过程，你觉得刚才的记录成功吗？需要修改的同学，老师再给你一次机会。　　

三、不断深化，提炼规律　　

师；这是我校营养师为我们准备的午餐，菜单如下：红烧肉、豇豆、韭菜、红烧鸭、青菜、白菜。　　

师；说说你最喜欢吃什么？　　

师：菜单分几类，分别有几种？　　

师：如果一荤一素搭配一共有多种不同搭配方法？老师现在对你提高要求，只准你看着黑板，在大脑中想搭配的过程，很快告诉大家，一共有多少种搭配过程。　　

生；8种，先选荤菜分别与素菜搭配一共有2个4，或者先选素菜，有4个2种，共8种。　　

师：观察荤菜种数和素菜种数，与一共有多少种搭配方法有什么联系？　　

生：两种荤菜与四种素菜一荤一素搭配的话，就是算2个4或者4个2是多少，直接用2和4相乘就可以了。　　

师：你理解他说的意思了吗？　　

多人说一说这个规律。　　

师：回想一下，我们是怎样获得这个规律的呢？　　

生：我们是先用图片摆一摆，实际上，我们可以用一些字母啦、图形啦表示，连一连，我们就发现这个规律。　　

四、解决问题（略）　　

对教材的理解决定了教学可以抵达怎样的深度！　　

对于《找规律》（有趣的搭配）一课，我们的理解是这样的：　　

规律——不是由教师告诉学生，也不是由优秀的学生广而告之，而是在经历一系列动手、动脑的过程中，规律潜入每一位学生的心里，心有灵犀，一呼百应。　　

抽象——找规律的过程同时也是数学思想方法体现的过程。抽象作为重要的数学思想方法支撑了整个找规律的过程。寻找更切合学生原有经验的生活原型；体验更自然、丰富、深入的抽象；获得更清晰的认识，更简洁的算式，更普遍的解答模式。　　

基于以上的认识。我们首先对教材作了一些处理。例题中“学生买木偶配帽子”的情境离四年级的学生有些遥远（而且男生对此没有兴趣），背离的情境无论是在激发兴趣还是呼唤原认知方面都欠妥当，所以，我们选择了学生日常生活中的早餐搭配这个原型。有了原型，就提出了问题：一种点心一种饮品怎样选配？有了这个问题的引导，抽象便开始了。舍弃了对象的某些具体的属性（色香味等），舍弃了对象的质的内容（牛奶、面包等），仅仅保留了量的内容（饮品几种，点心几种），从“搭配早餐”这种现象向“排列组合”的本质过渡。　　

能不能少一些图片？这个问题的提出，抽象便不再飞舞在天空，而是紧贴着地面。原来用了12张图片，用了两幅图，能不能少一点呢？少的不仅仅是图片，而是要求学生对其中的规律有一个再认识的过程，少掉一些无关的信息，抽象成一个简洁的表达方式。于是，学生在问题的引导下，产生了8张、5张的表达方法。然而，这仍旧停留在具体的图片之中，脱离图片是抽象更进一步的必须。随即，教师提出了不用图片怎样表达的问题。将已经解答的问题，已经熟知的方法再次推翻，督促思维搜寻更抽象的表达手段。用符号啊！学生想到了数字、图形、字母……不仅仅是单纯的启用另一套方法解答，而是承接原先的解答过程，温习3乘2的原理，培养学生的符号感，并逐步走向搭配的规律。　　

学生用符号表达之后，教师引导进行比较、修改。至此，学生已经历经了四个层次的操作。第一次是用图片凌乱地排出答案，第二次是有规律的排出图片，第三次是不用图片排，第四次是修改你的符号。四个层次的练习，不断的抽象概括，既丰富了学生对规律的感知，深刻体验了规律，又为而后的再次抽象提供了平台。　　

增加例题难度：在大脑中想搭配的过程，很快得出一共有多少种搭配过程。目标直接指向了用算式解答这一类问题，并由此归纳出解答的一般方法，获得解答的模式。有了之前的不断孕腹，抽象便水到渠成，4个2或2个4，生活问题抽象成了数学问题，之后，2×4或4×2，解答的算式应时而生。观察“荤菜种数和素菜种数与一共有多少种搭配方法有何联系”，学生思考便获知了解答的一般方法。　　

最后的回顾，是对整个解答过程的梳理与总结——突出抽象的方法，让抽象长久地停留在学生的思维深处。