经历“猜想-验证”，促进学生主动学习　　

——《面积的变化》教学设计　　

常州市局前街小学 张春洁　　

教学内容：　　

苏教版小学数学六年级下册第52-53页。　　

教学过程：　　

一、谈话引入，明确学习目标。　　

最近我们在研究图形的放大和缩小，我们发现了图形放大或缩小背后蕴藏的规律。那么放大或缩小后的图形的面积变化是不是也有规律呢？与图形对应边的比有没有联系呢？这就是我们本节课要研究的问题。板书：面积的变化。　　

【设计意图：把握新知的生长点，通过老师质疑，激发学生新的数学思考，明确本课研究课题及学习目标。】　　

二、提出问题，确定研究方案。　　

想一想：要研究放大、缩小后的平面图形的面积与原来的面积之间的变化规律，可以怎样研究，我们先来确定一个研究方案。　　

四人小组讨论，形成基本思路： （1）先把一个图形放大或缩小。　　

（2）写出对应边的比和面积的比并观察比较。　　

指导：其实我们在写出面积比之前，也可以大胆的猜测一下面积的比，然后带着猜测去计算、发现。形成板书：观察、猜测、验证、结论。　　

【设计意图：确定研究方案对学生是一种挑战，但又是学生自主的研究学习不得不面对的一个坎，通过学生的思考，教师的指导帮助学生明确本课学习的一个路径，即对数据的细致观察，大胆猜测，并通过计算验证，获得结论。】　　

三、探索平面图形的面积比与边长比的关系。　　

谈话指导：我们已经学过很多平面图形，为了研究的方便，我们可以选择选择其中的一种图形进行研究。比如，我们可以先选长方形作为研究对象。　　

第一层次：探索一个长方形的面积比与边长比的关系。　　

出示52页上的两个长方形。　　

　　　　　　　　　　

作业纸　　 观察：大长方形与小长方形长的比是（ ），宽的比是（ ）。　　 猜测：大长方形与小长方形面积的比是（ ）　　 验证：大长方形的面积： 小长方形的面积：　　 　 　 结论：这个大长方形与小长方形面积的比是（ ）

要求：细致测量，先写出长方形各对应边的比，再大胆猜测一下它们面积之比，并想办法对你的猜测进行验证。　　

　 　

　 　

　 　

　 　

板书：对应边长的比是3︰1，面积的比是9︰1　　

【设计意图：通过对一个特例（提供的一个长方形）的观察、猜测、验证、得出结论的过程，使学生对面积的变化规律形成了初步的感悟。】　　

第二层次：类推验证长方形的面积比与边长比的关系。　　

提问：这组长方形对应边长的比是3︰1，面积的比是9︰1，如果换了其他的长方形，面积比还会是这样吗？如果对应边长的比是2︰1，面积比会是怎样的？如果对应边长的比是5︰1，面积比会是怎样的？如果对应边长的比是m︰1，面积比又会是怎样的？如果对应边长的比是3︰2，面积比会是怎样的？对应边长的比是m︰n呢？你有什么猜测？　　

形成板书： 对应边长的比是3︰1，面积比是9︰1　　

对应边长的比是2︰1，面积比是（）︰（）　　

对应边长的比是5︰1，面积比是（）︰（）　　

……　　

对应边长的比是m︰1，面积比是（）︰（）　　

对应边长的比是3︰2，面积比是（）︰（）　　

……　　

对应边长的比是m︰n，面积比是（）︰（）　　

追问：怎么知道是不是正确呢？（验证）　　

　　　　

作业纸　　 我研究的长方形的长是（），宽是（），面积是（）；按（）放大后，　　 长是（），宽是（），面积是（）；大、小长方形面积的比是（）。

我们可以先任意确定一个长方形的长、宽，然后按照一定的比放大，并算出各自的面积以及面积的比。　　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　罗列学生的计算结果：对应边长的比是3︰1，面积比是9︰1　　

对应边长的比是2︰1，面积比是（4）︰（1）　　

对应边长的比是5︰1，面积比是（25）︰（1）　　

长方形 ……　　

对应边长的比是m︰1，面积比是（）︰（）　　

对应边长的比是3︰2，面积比是（9）︰（4）　　

……　　

对应边长的比是m︰n，面积比是（）︰（）　　

【备注：这里可以根据学生举例的情况再增加一些例子。】　　

要求：观察黑板上的结果，你有什么发现？（学生不难发现：把一个长方形按m︰1的比放大后，放大后的面积与原来面积的比是m²︰1，一个长方形按m︰n的比放大后，放大后的面积与原来面积的比是m²︰n²）　　

【设计意图：从一个长方形这个特例引导学生大量例证，从而得到长方形这一类图形放大后面积变化与对应边长的关系这个具有普遍性的规律，让学生经历偶然现象出发，经历猜想、验证、归纳、概括，抽象出一般的数学结论的过程。】　　

拓展：把长方形按一定的比放大后，我们找到了放大后长方形的面积与原来长方形面积之间的关系，如果把一个长方形按1︰m或n︰m缩小，它们的面积会有怎样的变化呢？　　

第三层次：类推验证平面图形的面积比与边长比的关系。　　

过渡：长方形的面积变化与对应边长的比是这样的规律，我们学过的其他图形的面积变化规律是不是也是这样呢？　　

引导：我们学过的平面图形还有正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆，一类一类研究太费时，我们可以怎样研究？（分工合作，五人为一小组，一人研究一类，然后小组内交流，再进行全班交流。）　　

指导：带着自己的猜测验证，并填写研究记录单，选择的比尽可能与其他组不同。　　

　　　　

（1）我研究的是正方形。　　 它的边长是（），面积是（）；按（）放大后，　　 边长是（），面积是（）；大、小正方形面积的比是（）。

作业纸：　　

　 　

　 　

　　　　

（2）我研究的是平行四边形。　　 它的底是（），高是（），面积是（）；按（）放大后，　　 底是（），高是（），面积是（）；大、小平行四边形面积的比是（）。

　 　

　 　

　 　

　 　

　　

（3）我研究的是三角形。　　 它的底是（），高是（），面积是（）；按（）放大后，　　 底是（），高是（），面积是（）；大、小三角形面积的比是（）。

　　　　　　

　 　

　 　

　　

（4）我研究的是梯形。　　 它的上底是（），下底是（），高是（），面积是（）；按（）放大后，　　 它的上底是（），下底是（），面积是（）；大、小梯形面积的比是（）。

　　　　　　

　 　

　 　

　 　

　　　　

（5）我研究的是圆。　　 它的半径是（），面积是（）；按（）放大后，　　 半径是（），面积是（）；大、小两个圆面积的比是（）。

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

研究记录单：　　

图形名称	对应边长的比	对应面积的比
正方形
平行四边形
三角形
梯形
圆

【备注：一个同学选择其中的一类图形进行研究，一个小组一张记录单，老师搜集学生的记录单并汇总。】如：　　

图形名称	对应边长的比	对应面积的比
正方形

概括：通过刚才的研究有什么发现？（把一个平面图形按m：1的比放大后，放大后图形面积与放大前面积比是m² ：1，如果按m︰n的比放大后，放大后的图形面积与放大前面积的比是m²︰n²）　　

类推：如果把一个平面图形按指定的某个比缩小，缩小前后图形面积的变化规律又是什么？　　

【设计意图：三个层次的设计层层深入，过程中不断引导学生类比、拓展，不仅帮助学生了解了平面图形面积的变化的相同规律，同时帮助学生了解从偶然现象中发现必然规律所要经历的一般过程，从而帮助学生形成研究的科学态度，培养学生研究的意识，体验探索的艰辛和发现的快乐。】　　

四、回顾反思，拓展延伸。　　

回顾：今天我们研究了把一个平面图形按指定的有个比放大或缩小后，图形的面积变化与对应边的比之间的规律，我们是怎样来研究的？（从一个长方形入手——研究长方形——研究其他的平面图形。研究放大的情况——类推缩小的情况。）　　

拓展：今天我们研究的是平面图形，如果是立体图形，对应边的比与表面积的比以及体积的比是不是也有规律呢？规律是怎样的呢？你能用这样的研究方法自己去研究一下吗？　　

【设计意图：学习的最终目的不仅仅是获得一个结论，我们更要了解获得结论的途径、方法结构，而这种方法结构的迁移为学生进行主动地学习提供了可能，这中隐性化的“知识”形态，转化为自身成长发展的丰富资源后，学生在运用这种结构进行自主的实践和体验将会更加丰富多彩。】　　

五、应用规律，解决问题。　　

出示书中东港小学的校园平面图，请从中选择一幢建筑或一处设施，测量并算出它的实际占地面积。　　

（1）测量有关图形的图上距离。　　

（2）计算相关图形的实际面积。　　

【备注：学生交流的过程中要关注错误资源的辨析，引导学生把比例尺与面积比进行比较区分，并关注解决问题方法的多样化。】　　

【设计意图：学生利用所学的知识，解决生活中的实际问题，积累解决问题的经验。】　　

　 　

2010-4-3