让数学练习成为提升学生数学思维的有力工具

                       ——从一下“人民币的复习”谈练习设计的思维性

义务教育新课程标准指出，“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”“通过义务教育阶段的数学学习，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”这些都说明，随着基础教育的不断改革，我们的数学教学要跳出传统的教学思路和目标体系，在获得基础知识和技能的同时更要关注数学思维，让数学真正成为“思维的体操”，促进个体的思维发展。

前不久，笔者参与了一位新教师的考核课设计，围绕一年级下册《元角分》单元上一节认识人民币的练习课。应该说，练习课和复习课是一线老师最不愿意上的两种课型，知识繁杂，练习点较多，到最后常常是题海战术，或带着学生炒炒冷饭，或设计一关又一关让学生虚假地闯闯，或设计一些挑战题成为一些孩子的个人秀……究竟如何设计练习课呢？如何让数学练习成为提升学生数学思维的有力工具呢？我们围绕“练习设计”展开了我们的探索。

一、精心设计练习，提升学生思维的批判性。

【情景再现】

……

师：在生活中，一般购买比较贵的东西，用“元”作单位；购买比较便宜的，用“角”作单位；更便宜的，用“分”作单位。王老师想去买一些东西，你能帮我填上合适的单位吗？

呈现：一件衣服50（     ）；

      一块橡皮6（     ）；

      回收一个矿泉水空瓶子5（     ）；

      一瓶饮料50（     ）；

      一把直尺1（     ）5（     ）。

生独立完成后交流。

……

师：生活中饮料好像都是用“元”作单位，你们怎么用“角”呢？同桌相互说说看！

生：因为饮料后面跟的是50，所以要填“角”。

师：哦，他关注了数据。那怎么跟了50，就要变成角了呢？

生：生活中饮料一般是5元，5元＝50角，所以要填单位角。

师：看样子，我们不能想当然，看到比较贵的东西，就用“元”作单位，比较便宜的，就用“角”和“分”作单位，还要关注前面的具体数据呢！

【现场解读】

教师的这五个练习，各有侧重。通过前三个填空，帮助学生建立基本性认识：在生活中，一般购买比较贵的东西，用“元”作单位；购买比较便宜的，用“角”作单位；更便宜的，用“分”作单位。这是对每个学生的一般性要求，要求每个学生都能形成这样的认识并灵活运用。第四个填空教师作了点小小的变动，本来生活中饮料也是用“元”作单位，迁移前面三题的认识，随着惯性，想当然很多学生认为这里也要填“元”，当然也有一些学生反应比较快，认为要填“角”，于是教师引导学生质疑反思：“饮料应该用元作单位啊，怎么有的同学认为要用角呢？”一下子学生的思维活跃度被调动了起来，是啊，怎么刚才的知识获得行不通呢？通过辨析讨论，学生逐渐感受到，填合适的单位，除了生活迁移，还要关注具体数据。最后一题则是引导学生感受到有时候物体的价钱需要用两个单位，为今后学习小数打下伏笔。

综合以上分析，我们看到，教师在练习设计时，关注提升学生数学思维的“批判性”。所谓数学思维的批判性，即学生在数学学习中，能时刻反思，用怀疑、质疑、检验、验证的眼光看待和思考问题。这种思维品质的获得不是一蹴而就的，而是在长时间的数学学习中逐渐积累。在上面的练习设计中，教师通过第四个填空引导学生“推翻”刚刚获得的结论的普遍性，使学生感受到数学的每一步都不能生搬硬套，要多思考，多反思，全面关注，在批判中自我发展。

二、精心设计练习，提升学生思维的选择性。

【情景再现】

……

师：我们了解了元、角、分三者之间的进率，可以进行单位的转化，还可以比较不同人民币的多少呢！

呈现：3元○32角       95分○1元       4元○4角

生独立完成后交流。

生：3元等于30角，当然是32角大啦！

师：哦，碰到单位不同的时候，我们可以换成相同单位再比较！那一定只能把3元化成30角吗？

生：也可以把32角化成3元2角，当然比3元大。

师：真棒！我们可以把大单位“3元”化成小单位“30角”进行比较，也可以把小单位“32角”化成大单位“3元2角”再来比较，总之，只要单位统一，比较起来就非常方便。

师：那95分○1元怎么比较呢？

生：1元是100分，比95分多。

师：他是把大单位化成了小单位，能不能把小单位95分化成大单位多少元呢？

生：能是能，不过太麻烦了，好像不满1元。

师：是啊，在我们比较时，一般来讲，把大单位化成小单位比较方便。

师：4元○4角，非要统一单位吗？

学生讨论后交流。

生：4角没满1元，4元已经超过1元了，当然4元大。

师：真棒！他找了一个“中间量”1元来帮助比较，真方便！

生：一个单位是“元”，一个单位是“角”，当然4元大啦！

师：“元”大就一定大吗？比如1元○20角，1元大吗？

生：上面两个都是“4”，下面数据不一样！

师：哦，要数据相同，单位大的才大呢！

师：4元○4角，有很多比较方法呢！把你最喜欢的方法和同桌说说看！

同桌相互说。

师：随着我们学习的深入，同一道题会有很多种方法，一定选择最适合自己的方法去解决！

呈现：8角○56分       4元9角○5元       1元2角○1角2分

师：请小朋友们选择自己最喜欢的方法解决咯！

【现场解读】

在这组练习中，我们看到教师也引导学生质疑，“能不能把小单位95分化成大单位多少元呢”“非要统一单位吗”，通过这种具有疑惑性的问题引导学生不断深入思考，推动学生的数学思维前进再前进，在这个过程中培养学生思维的批判性。除此之外，教师还注重培养学生思维的选择性。在解决“3元○32角”时，引导学生体会比较的一般方法：化成相同单位比较。具体如何转化，可以把大单位化成小单位，也可以把小单位化成大单位。到了比较“95分○1元”时，推动学生思维继续深入，感受到把大单位化成小单位更方便，引导学生自我体会优劣，促进自我优化选择。到第三题“4元○4角”时，从一般要求上升到了高标要求，“非要统一单位吗”？引导学生在生生互动、师生互动中逐渐感受到还可以寻求中间量比较，数据相同只看单位比较等，促进学生由常规性思维向发散性思维发展，体会方法的多样性。教师的设计并未满足于多样化的方法，而是帮助学生优化方法，学会选择最适合自己的方法。方法的多样是为了促进学生的发散性思维，方法的优化是为了提升学生的分辨力和思维的选择性。最后通过类似的一组题“8角○56分、4元9角○5元、1元2角○1角2分”强化学生的多样化意识和优化选择意识。

随着新课程的深入实施，越来越提倡发展学生的发散性思维。我们看到苏教版数学教材上有很多“小卡通”图案，例题经常通过这些小卡通图案来呈现多样化的方法，发展学生的思维广度。越来越多的一线老师也在课堂上鼓励学生小组合作，相互讨论，通过“一题多解”的方式来促进学生思维。但是光有方法的多样是不够的，尤其是中下水平的学生，本来一种方法掌握起来就比较困难，现在方法多了，更是无从下手，不知道究竟应该学习哪种方法。所以作为我们教师，还要帮助学生学会优化，即根据自己的能力和方法的特点从中选择最适合自己的方法。这里我们没有说“最简单”，而是说“最适合”，因为有的方法很简单，但并不适合所有学生，适合自己的才是最好的。我们老师除了通过例题教学来培养学生的思维选择性之外，更要精心设计练习，在日常的练习中潜移默化，逐渐渗透，提升学生思维的选择性。

三、精心设计练习，提升学生思维的敏捷性。

【情景再现】

……

师：小熊和小狗想一起去购物，但是小熊只有10元面值的钱，他想跟小狗换一些其他面值的，你们愿意帮助他吗？

生：愿意！

呈现：1张10元可以换（     ）张1元；

      1张10元可以换（     ）张2元；

      1张10元可以换（     ）张5元；

      1张10元可以换（     ）张1元和（     ）张5元。

生独立完成后交流。

……

生：1张10元可以换1张1元和……？

师：1张1元和几张5元呢？

生：不好换了！换了1张1元后，剩下的9元不能正好换5元。

师：那2张1元行吗？（不行）3张呢……要几张才行呢？

生：1张10元换5张1元和1张5元。

师：看样子！1张、2张、3张、4张1元都不行，一直要到5张1元才行！那能不能先想几张5元，再想几张1元呢？

生：1张10元换1张5元，剩下的还能再换5张1元。

师：那你们觉得先想“几张5元”简单，还是先想“几张1元”简单呢？同桌讨论讨论看！

生：先想5元简单，想1元的话，前面1张、2张、3张、4张都不行，要想到5张才行！

师：看样子，先想大面值的钱比较方便，想起来比较容易！那刚才我们都是先从几张5元想起的呢？

生：1张。

师：如果1张不行，想几张呢？（2张）2张不行呢？（3张）……

师：有顺序地想才能不重复不遗漏。

小结：换两种以上的人民币，先从面值大的考虑比较简单，从1张开始有序地想，能做到不重复不遗漏。

强化练习：1张20元可以换（     ）张5元和（     ）张10元。

【现场解读】

在这里，教师把练习重点放在“1张10元可以换（     ）张1元和（     ）张5元”上，通过对比思考，引导学生感受到从面值大的钱币想起比较方便，然后按照1、2、3……这样的顺序思考，能做到不重复不遗漏。在这样的过程中，提升学生思维的敏捷性和完整性。所谓思维的敏捷性，通常是指智力活动的速度，也是学好数学的素养之一。小学生数学思维的敏捷性，主要表现为在具体的解题过程中，理解题意能力强，进入题设情境快，知识与技能能够迅速迁移，解题的速度和正确率高。在这里，看似两个简单的括号，其实深藏玄机：从小面值想，想到正确答案比较麻烦，会有很多无效步骤；从大面值想，无效步骤少，很容易想到正确答案。至于背后蕴含的道理，现在跟一年级的孩子讲，可能难以理解，所以我们采取“渗透”的教学策略，让学生自我感悟，逐渐体会，在今后的练习中追求豁然开朗。从大面值想后，几张不是随机生成，而是有序的思考环节，从1张想起，能不重复不遗漏，追求数学的完整性。

新课标强调学生数学思想方法和数学活动经验的获得，在这里，其实也有体现。“从大面值想起”“从1想起”就类似于“从简单想起”一样，是有效的解决数学问题的方法，也是学生在今后的学习中常常要用的，或者是可以迁移的方法。我们一线教师常常觉得数学思想方法和数学活动经验只可意会不可言传，很难在数学课堂教学中有所体现。其实精心设计练习，在课堂中注重引导，完全可以渗透方法，感悟经验，提升学生思维的敏捷性。

四、精心设计练习，提升学生思维的发散性。

【情景再现】

呈现：

	足球	小刀	文具盒
付出的钱	100元	1元	（     ）元
物品价钱	（    ）元	9角	8元
找回的钱	20元	（     ）角	7元

学生独立完成后交流。

交流数量关系并板书：物＋找＝物     付－物＝找     付－找＝物

师：请同学们仔细观察这三个数量关系，有什么相同的地方吗？

生：都是和“物品价钱”“付出的钱”“找回的钱”三个量有关系。

师：看样子，三个相关联的量通过变换可以形成三个不同的数量关系呢？

    比如“男生人数”“女生人数”“全班人数”，你能组成三个不同的数量关系吗？

小组讨论并交流。

师：“原有图书”“借走图书”“剩下图书”，你能组成三个不同的数量关系吗？

……

【现场解读】

关于购物的数量关系学生理解起来比较困难，毕竟一年级的孩子购物的生活经验比较少，这给解决实际问题带来了一定的挑战。教师通过这张表格，帮助学生巩固最基本的数量关系。但教师并未满足于此，三个基本数量关系出现后，教师引导学生比较异同，会比较也是学生数学能力最重要的方面之一。通过比较学生感受到“三个想关联的量通过变换可以形成三个基本数量关系”。那这个结论是不是具有普遍适用性呢？然后引导学生回顾，关联以往的学习经验，复习以前学过的数量关系，验证了这一结论。通过这样的对比联系，发散性关联思考，使点状学习变得块状，变得结构化，学生形成了对于“部总关系”应用题的结构脉络。除了回顾思考，还可以发散拓展，变换“部总关系”应用题的情境，使学生感受到变化中的不变。虽然情境变了，但只要是相关联的量，都适用于这样的结论，由一条带一串，提升了学生的数学能力和数学学习效率。

在实际教学中，我们既要聚焦学生的思维，围绕某一点展开深入研究；也要引导学生发散思考，关联思考，形成整体的结构意识。不仅在例题教学中我们要有意识地做到这一点，在练习设计及练习讲解中尤其要注意。

 

由于学科特点，“数学教学”常常与“数学练习”密不可分。在课堂教学中，往往一道例题讲完常要配合相关的练习帮助学生理解、巩固和掌握。在进行教材上的数学练习时，我们不能为了做题而做题，而是要关注“学生能力发展”这一核心目标，精心设计练习的呈现方式和讲解方式，必要时可以根据学情进行个性化的重组和改进。此外，我们还可以配合教学自主设计一些多元化、个性化的数学练习，设计这些练习时除了要考虑学生的知识技能发展之外，更要关注学生的数学思维发展和能力提升。

在人民币的复习时，我们关注思维的批判性、选择性、敏捷性和发散性。其实数学思维的内在远不止这些，但相信每个老师时刻把“学生能力发展”“学生思维提升”等放在首位，一定能让我们的数学练习成为提升学生思维的有力工具，促进学生的可持续发展。